4.3. La Fonction de l'Arc du Calcar
4.3.1. Résumé
L'arc du calcar est la courbe de transition entre la zone d'ancrage de la tige et la direction de l'axe du col et de la tête prothétique.
La modélisation que j'avais adoptée pour la précédente tige AlloClassic était en forme d'hyperbole et reliait un point de la zone d'ancrage avec la base du col qui restait cylindrique. ( Brevet Deckner du 14 10 1987 )
Dans les tiges SL Plus, la courbe du calcar proprement dite est modélisée mathématiquement par une fonction exponentielle s'étendant jusque à la base de la tête sphérique.
4.3.2. La Courbe de Transition du Calcar
Il s'agit d'un des composants du Calcar-Polynôme-Deckner.
La transition entre la zone d'ancrage et le col de la tige SL Plus de 1992 a été dans une large mesure améliorée par rapport aux tiges SL de 1984. A l'inverse des centaines de modèles de prothèse de hanche du marché, dont la transition est un simple arc de cercle, que l'on pouvait définir et dessiner en quelques minutes, le travail de recherche et de programmation des courbes ci-dessous a nécessité des centaines d'heures. J'ai recherché une modélisation mathématique d'une trajectoire courbe, simulant la courbe réelle générée par la direction des compressions subies par l'os en tous points du parcours. (voir 3.2.6. Les courbes de transition )
4.3.3. La courbe idéale définit automatiquement ses paramètres
Comme les paramètres de cette courbe ne peuvent être déterminés à l'avance, j'ai choisi de les établir automatiquement par programme, en simulant les essais successifs par des itérations du calcul.
Le programme détermine les paramètres de la courbe, à chaque cycle de calcul, à la façon d'un essai de tir de missile, en procédant par dichotomie entre les écarts des essais précédents et la direction idéale au point de rencontre avec la zone immédiatement à la base du cône de jonction avec la tête sphérique, jusqu'à ce que l'écart angulaire soit inférieur à une limite précise fixée d'avance. Par la suite, en 2002, à l'occasion d'un projet de prothèse anatomique, dans laquelle non seulement l'antétorsion, mais aussi pour la première fois, le décalage vers l'avant de l'axe du col par rapport à l'axe du fémur était pris en compte dans la modélisation, j'ai généralisé le procédé à la simulation de la trajectoire des travées osseuses par des trajectoires non planes, dans un espace à trois dimensions.
4.3.4. Détails mathématiques de la fonction d'arc du calcar
Différemment de la courbe de calcar de la tige AlloClassic que j'ai modélisée mathématiquement par un arc d'hyperbole, la courbe de calcar des tiges SL Plus a la structure d'une courbe exponentielle. L'hyperbole de l'AlloClassic aboutissait à la base du col contrairement à l'exponentielle de la SL Plus qui va jusqu'à la base du cône, le col cylindrique n'existant plus.
Dans la description de plusieurs prothèses, j'ai souvent utilisé les propriétés intéressantes des courbes exponentielles dans l'intervalle [ 0 , 1 ].
Au voisinage de 1, la pente (dérivée première) de ces courbes varie en continu de 1 à l'infini quand l'exposant est Réel et non entier comme d'habitude.
De plus, leur courbure (dérivée seconde) varie en continu. Au voisinage de zéro, ces courbes ont toujours une dérivée première nulle. La composition appropriée de plusieurs de ces courbes a une dérivée seconde continue.
Ci-dessous, exemples de courbes dans une représentation orthonormée traditionnelle, puis dans un système de coordonnées locales non orthonormées, décalées par rapport à l'origine:
Pour la zone du “calcar”, cette courbe exponentielle est décrite non dans le système de coordonnées cartésiennes (orthonormées) qui contiendra la totalité de la tige une fois que son calcul sera terminé, mais dans un système de coordonnées locales non orthonormées.
Ce système de coordonnées locales ” U,V ” est spécifique à la taille de prothèse en cours de calcul et ses vecteurs de base sont asservis aux Facteurs de Croissance qui régissent la longueur totale, la largeur, et la longueur de col, correspondant à cette taille. Le vecteur-unité des “abscisses” se trouve sur l'axe longitudinal, et le vecteur des ordonnées sur l'axe du col. Donc, l'angle entre ces deux vecteurs correspond à l'angle du col.
La longueur unitaire des “U” est paramétrée par une portion de la longueur de la zone d'ancrage définie par un “pourcentage” commun à toutes les tailles se trouvant dans la base de paramètres du système, tandis que la longueur unitaire des “V” est paramétrée par une portion de la longueur du col, avec un paramètre différent.
La portion utile de la courbe se trouve dans le “parallélogramme unitaire” délimité par les vecteurs unitaires des coordonnes locales. La courbure de cette portion d'exponentielle, et surtout l'angle de sa tangente au point 1,1 (situé à la base du cône de la tête ) des coordonnées locales varient en fonction de la puissance appliquée à la fonction. Cette puissance n'est pas entière comme les exposants des polynômes classiques mais “Réelle”, comme tous les exposants du Polynôme de Deckner.
C'est cet exposant qui est ajusté par un certain nombre (non défini d'avance) d'itérations du programme qui permet de rencontrer la base du col et d'obtenir un alignement parfait avec la zone amincie située à la base du cône de jonction qui recevra la tête céramique. Le diamètre de cette zone amincie est aussi paramétré pour chaque taille par un facteur de croissance. C'est seulement ensuite que la fonction d'arc du calcar ainsi calculée pour chaque taille sera projetée dans le système de coordonnées de chaque taille et deviendra l'un des éléments additifs du Calcar Polynôme de Deckner. Il s'agit d'une transition dont la courbure varie régulièrement depuis un point de la zone d'ancrage jusqu'à la base du col de jonction avec la tête, la modélisation adoptée dans la précédente tige SL s'arrêtant à la base du col cylindrique.
----